電磁気学試験問題

教官：山崎試験日時： 2005 年 2 月 8 日（火） 15:00-16:30 （答案用紙（両面） 1 枚、計算用紙 1 枚）

1. 右図のように、半径 a、及び、 b (a <

b) からなる非常に長い中空の円筒状導体を、軸を共通にして真空中に置く。これは同軸ケーブルと呼ばれる。以下の問に答えよ。なお、真空中の誘電率、及び、透磁率を、それぞれ ε_{0} μ_{0} とおく。

1）帯電していない同軸ケーブルを用意し、内側円筒より外側円筒に電荷を移動する。単位長さあたりの同軸ケーブルの容量を C として、単位長さ当たり Q の電荷を移動させるのに要するエネルギーは、 Q^{2}/2C であることを示せ。

2）このように単位長さあたり Q の電荷を持って同軸ケーブルが帯電しているとき、中心軸からの距離を r

として、 r < a、 a < r < b、 b < r における電場の強さ E を Maxwell 方程式から評価せよ。 3）電場の持つエネルギー密度が ε_{0}E^{2}/2 であることを用い、同軸ケーブルが単位長さ当たりにもつ容量 C

を求めよ。 4）同軸ケーブルに上図のように電流を流すことを考える。単位長さあたりの同軸ケーブルのインダクタ

ンスを L として、電流 I を流すのに要する単位長さ当たりのエネルギーは LI^{2}/2 で与えられることを示せ。

5）電流 I が流れているとき、 r < a、 a < r < b、 b < r における磁束密度を Maxwell 方程式から評価せよ。 6）磁場の持つエネルギー密度が B^{2}/2ε_{0} であることを用い、同軸ケーブルが単位長さあたりにもつインダ

クタンス L を求めよ。

7）この同軸ケーブルを長さ Δx の多数の微少部分に分ける。それぞれの部分は、インダクタンス LΔx のコイル、容量 CΔx のコンデンサーからなる微少 LC 回路と考えても良いであろう。すなわち、同軸ケーブルはこの微少 LC 回路が無限につながったものとして考えることができる。右図をヒントにして、同軸ケーブルのインピーダンス Z_{B} を求めよ。ただし、角振動数 ω の交流に対する容量 C のコンデンサのインピーダンスは (iωC)^{−1}、インダクタンス L のコイルのインピーダンスは iωL で与えられる。

2. Z 方向に一様な磁場 B がかかっている。時刻 t = 0 で X 方向に v で運動している電荷 q、質量 m の粒子がある。

1）この粒子の従う運動方程式を書け。 2）この粒子は t > 0 でどのような軌道で運動するか、考察せよ。

3. 銅パイプを用意し、これを垂直に立てて、この中を磁石の小片を落下させる。

1）磁石の運動がどうなるか、考察せよ。銅パイプの厚みを増やした場合、磁石の運動に変化があるか、考

察せよ。 2）銅パイプを僅かに傾けた場合、磁石はパイプの壁面に近づくか、考察せよ。

4. 時間の余った人は授業の感想、提案、印象に残った話（授業以外でも物理学に関わることなら可）等を書いてください。（加点あり、減点なし）