東京大学理科 I 類 数学 II 担当戸瀬

I A ∈ M_{5}(ℂ) の固有多項式と最小多項式が

Φ_{A}(λ) = (λ − α)^{5}, m_{A}(λ) = (λ − α)^{2} ⋯ (♯)

であることが分かっている.

(1) v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{5} ∈ ℂ^{5} が次の条件を満たしているとする.

(i) (A − αI)v⃗_{1} ≠ 0, (A − αI)v⃗_{3} ≠ 0 (ii) v⃗_{2} = (A − α)v⃗_{1}, v⃗_{4} = (A − α)v⃗_{3} (iii) v⃗_{2}, v⃗_{4}, v⃗_{5} は線形独立である.

この条件の下で, P = (v⃗_{1}, ⋯, v⃗_{5}) が正則であることを示し, A の Jordan 標準形を求めよ.

(2) (♯) の下で (1) と異なる Jordan 標準形を持った場合があるならば, それを与えよ.

II

A = (\begin{matrix}3 & −1 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & −2 & 1 & −1 \end{matrix}) の Jordan 標準形を求めよ.

III (1)

A = (\begin{matrix}15 & −5 & −6 \\ 5 & −2 & −3 \\ 27 & −9 & −10 \end{matrix}) の最小多項式が

m_{A}(λ) = Φ_{A}(λ) = (λ − 2)^{2}(λ + 1) であることを示せ.

(2)

W (2) := ker(A − 2I)^{2}, W (−1) := ker(A + I)

とおく. 直和分解

ℂ^{3} = W (2) ⊕ W (−1)

において

x⃗ ∈ ℂ^{3} に対して, x⃗ = x⃗_{1} + x⃗_{2} (x⃗_{1} ∈ W (2), x⃗_{2} ∈ W (−1))

とするとき, x⃗_{1}, x⃗_{2} を A と x⃗ で表示せよ. \underline{ヒント}

\frac{1}{(λ − 2)^{2}(λ + 1)} = \frac{αλ + β}{(λ − 2)^{2}} + \frac{γ}{λ + 1}

IV A ∈ M_{3}(ℂ) に対して

Φ_{A}(λ) = (λ − α)(λ − γ)(λ − β)

が成立するとする. λ の多項式 f(λ) に対して

Φ_{f(A)}(λ) = (λ − f(α))(λ − f(β))(λ − f(γ))

を示せ. V

実対称行列A = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & −1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & −2 \\ 2 & 0 & −2 & −1 \end{matrix}) を考える. x⃗ ∈ ℝ^{4}とする.

||x⃗|| = 1 の下で (Ax⃗, x⃗) を最大化・最小化せよ. VI

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 4 & 5 & 3 \\ 9 & 1 & −2 & 1 & 13 \\ 9 & 2 & 3 & 7 & 8 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 11 \end{matrix}) に対して,I_{m}(A) とker(A) の基底を求めよ.

VII

a⃗_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , a⃗_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) が張る部分空間をV,

a⃗_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , a⃗_{4} = (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) が張る部分空間をW とする.

部分空間 V ∩ W の基底を求めよ.