東京大学理科 I 類 数学 II 前期期末試験問題

03 年 9 月 2 日 (火), 担当戸瀬

I A = (\begin{matrix}−5 & 9 \\ −4 & 7 \end{matrix}) に対して A^{n} を求めましょう

II (A) または (B) を解答して下さい。

(A) B = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −1 \end{matrix}) とします。

\frac{d}{dt}v⃗(t) = Bv⃗(t)

の解を求めてください。 (B) x^{2} + y^{2} = 1 の下で z = 9x^{2} − 4xy + 6y^{2} の最大値を求めて下さい。

III C =(\begin{matrix}3 & 1 & 4 & 4 \\ −1 & 7 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 5 & 2 \end{matrix})に対して Im(C) と ker(C) の基底を求めて下さい。

IV (A) または (B) を解答して下さい。

(A) (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0

が非自明な解を持つ必要十分条件を求めよ。 (B)

D =(\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix})の逆行列を求めよ。

V a⃗_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , a⃗_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) が張る ℝ^{3} の部分空間 V への b⃗ = (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) の{直交 \atop (正)}射影を求めましょう。