2004 年度数学 IB 前期期末試験問題

理科１類 1〜3,21〜24 組９月１日（水）２限 10:50-12:20 （９０分） 斎藤 毅

• 問題用紙 1 枚、解答用紙 両面 2 枚、計算用紙 1 枚

• 筆記用紙、計時機能のみの時計 以外もちこめません。

• 途中の計算などもできる限りくわしく書いて下さい。

第１問 逆３角関数

Arcsin x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1 · 3 · 5 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 · 6 ⋯ (2n)} \frac{1}{2n + 1}x^{2n+1}

について、次の問いに答えよ.

(1) Arcsin \frac{1}{2} を求めよ.

(2) 不等式

|Arcsin\frac{1}{2} − ∑_{n=0}^{9} \frac{1 · 3 · 5 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 · 6 ⋯ (2n)} \frac{1}{2n + 1} \frac{1}{2^{2n+1}} | ≤ \frac{1}{10^{8}}

を示せ. 第２問 極限

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}}

を求めよ.

第３問 f(x) = \frac{x}{e^{x} − 1} とおく.

lim_{x→0} \frac{f(x) − g(x)}{x^{4}} = 0

をみたす４次多項式 g(x) を求めよ. 第４問 a を実数とし, f(x) > 0, g(x) > 0 を x ≥ a で定義された連続関数とする. x > a で関数\frac{f(x)}{g(x)} が単

調減少であるとする. x > a に対し,F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt, G(x) = ∫_{a}^{x} g(t)dt とおく.

x > a に対し, \frac{F (x)}{G(x)} > \frac{f(x)}{g(x)} であることを示せ.

略解 1 (1) Arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6} .

(2) | 左辺 | = ∑_{k=10}^{∞} \frac{1 · 3 ⋯ (2k − 1)}{2 · 4 ⋯ (2k)} \frac{1}{2k + 1} \frac{1}{2^{2k+1}}

≤ \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6} \frac{1}{21} ∑_{k=10}^{∞} \frac{1}{2^{2k+1}} = \frac{3}{4} \frac{5}{126} \frac{1}{2^{22}} \frac{1}{1 − \frac{1}{4}} ≤ \frac{1}{25} \frac{1}{2^{22}} = \frac{1}{10^{2} · 2^{20}}

= \frac{1}{10^{2} · 1024^{2}} ≤ \frac{1}{10^{8}}

2 区分求積法より

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (\frac{k}{n})^{2}} \frac{1}{n} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = [Arctan x]_{0}^{1} = \frac{π}{4} .

3 e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + ⋯ だから,

\frac{e^{x} − 1}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{6} + \frac{x^{3}}{24} + \frac{x^{4}}{120} + ⋯

である. よって, \frac{x}{e^{x} − 1} = 1 − \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{12} − \frac{x^{4}}{720} + ⋯ であり,

g(x) = 1 − \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{12} − \frac{x^{4}}{720}.

4 平均値の定理の一般化より, \frac{F (x)}{G(x)} = \frac{F (x) − F (a)}{G(x) − G(a)} = \frac{f(t)}{g(t)} をみたす a < t < x がある. したがって

\frac{F (x)}{G(x)} > \frac{f(x)}{g(x)} である. したがって\frac{F (x)}{G(x)} > \frac{f(x)}{g(x)} である.

1(1)[10] (2)[30] 2[20] 3[20] 4[20]