2004 年度冬学期 振動・波動論 (久我) 試験問題 (90 分)

教科書・ノート持ち込み不可 解答用紙 両面 1 枚、計算用紙 1 枚

[1] 右図のように周期的に繰り返す矩形の波 f(t) は ; [0, T] の範囲で ; f(t) = \begin{cases}V_{0} & (0 < t < T/ 2) \\ 0 & (t = 0, T/ 2, T) \\ −V_{0} & (T/ 2 < t < T) \end{cases} ; と与えられる。 ; これを \{\sqrt{2/ T} sin (nπt / T)\} なる規格完全直交関数 ; 系でフーリエ級数展開する時の係数を求めよ。

ヒント：{f(t) = ∑ ∑ ∑_{m=1}^{∞} c_{m}\sqrt{2/T} sin (mπt/T) とすると、係数 c_{m} は c_{m} = ∫∫∫ _{0}^{T} \sqrt{2/T} \atop sin (mπt/ T)f(t)dt で表される。}

[2] 右図のような回路を交流起電力 V (t) = V_{0} sin wt で駆動する ; とき、回路に流れる電流 I(t) は微分方程式、 ; L\frac{d^{2}I}{dt^{2}} + R\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = ωV_{0} cos ωt ; を満たす。

(1) 回路が定常状態になったときの電流 I(t) について、振幅および起電力との位相差を角周波数 ω の関数として表せ。 (I(t) = A(ω) sin (ωt + ϕ(ω)) として A(ω) と ϕ(ω) を求めればよい)

(2) (1) で求めた電流 I(t) の振幅 A(ω) と位相差 ϕ(ω) は、角周波数 ω に対してどのように変化するか。 ω を横軸にしてそれぞれの概略図を描け。

(3) 問題 [1] のような矩形波状の起電力 V (t) = f(t) でこの回路を駆動したとき、回路を流れる電流の大きさはどのような時間変化をするか。 ω ≪ ω_{0}、 ω ≈ ω_{0}、 ω ≫ ω_{0} のそれぞれの場合について、定性的な考えでよいので解答せよ。ただし ω_{0} = 1/\sqrt{LC} ω = 2π/ T とする。 (たとえば電流の大きさの時間変化を図示する)

[3] 右図のように、両端を固定した糸 (張力 T) で引っ張 ; られている二つのおもりの面内での振動を考える。 ; (1) それぞれのおもりが満たす運動方程式を書け。 ; (2) 連成振動の規準振動数を求めよ。 ; (3)(2) で求めた規準振動の概形を描け。

[4] 以下の事柄について 2〜3 行程度で簡単に説明せよ。 (i) 重ね合わせの原理 (ii) パラメーター励振 (iii) 自励振動 (iv) 波の反射と屈折