数理科学 I 前期末試験 (2005 年 7 月 20 日 4 限, 担当筧) (解答用紙は両面１枚とします。それに収まるように書いて下さい。）

1 (x, y) が、関係式

cos(πxy) − \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} = 0

を満たすとする。

(1) (x, y) = ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{3}} , \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{3}} ) の適当な近傍で陰関数 y = φ(x) が存在することを, 陰関数定理を用いて証明せよ。

(2) φ′ ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{3}} ) を求めよ。ただし, φ′(x) = \frac{dφ}{dx} (x) である。

2 重積分を経由することで, 次の反復積分の順序を交換せよ。 (下記では, まず y で積分してから x で積分するようになっている。これを, x で積分してから y で積分するように書き換える。 )

(1) ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1/(x+1)} f(x, y)dy, (2) ∫_{0}^{1} dx ∫_{x^{3}}^{x^{2}} f(x, y)dy.

3 次の重積分の値を求めよ：

∫∫_{D} e^{−x^{2}}dxdy, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1}.

4 次の広義積分が発散することを示せ：

∫∫_{D} \frac{1}{x^{2} + y^{2}} dxdy, D = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1\}.

5 ３次元空間内の領域 D で定義されたベクトル場 f(x, y, z) = [\begin{matrix}u(x, y, z) \\ v(x, y, z) \\ w(x, y, z) \end{matrix}] ((x, y, z) ∈ D)

に対して, div(rotf) = 0 であることを示せ。ただし, u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) は全て D で C^{2} 級として, 「C^{2} 級」という条件がどこで用いられるかも明記せよ。

6 座標空間内において, z = ϕ(x, y) で表される曲面を考える。このとき, ベクトル grad ϕ(a, b)

を,

grad ϕ(a, b) = [\begin{matrix}ϕ_{x}(a, b) \\ ϕ_{y}(a, b) \end{matrix}] (ただし, ϕ_{x} = \frac{∂ϕ}{∂x} , ϕ_{y} = \frac{∂ϕ}{∂y})

で定める。ベクトル grad ϕ(a, b) は, 点 (a, b) において, 曲面の傾きが最も急であり, かつ ϕ の値が増加する方向を表していると考えられる。なぜそのように考えられるかを説明せよ。